Wie Bildet Man Den Mittelwert

Ein Mittelwert (kurz auch nur Mittel; anderes Wort Durchschnitt) ist eine Zahl, dice aus gegebenen Zahlen nach einer bestimmten Rechenvorschrift ermittelt wird. Gebräuchlich sind Rechenvorschriften für das arithmetische, das geometrische und das quadratische Mittel. Mit dem Wort Mittel oder Durchschnitt ist meistens das arithmetische Mittel gemeint.

In der Statistik ist der Mittelwert einer der Parameter, dice den typischen Wert einer Verteilung charakterisieren, bzw. die dice zentrale Tendenz einer Verteilung zum Ausdruck bringen (Lageparameter).

Eng verwandt ist der arithmetische Mittelwert mit dem Erwartungswert einer Verteilung. Während der Mittelwert aus konkreten vorliegenden Zahlenwerten ermittelt wird, beruht der Erwartungswert auf der theoretisch zu erwartenden Häufigkeit.

Geschichte [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der Mathematik treten Mittelwerte, insbesondere dice drei klassischen Mittelwerte (arithmetisches, geometrisches und harmonisches Mittel), bereits in der Antike auf. Pappos von Alexandria kennzeichnet zehn verschiedene Mittelwerte ${\displaystyle one thousand}$ von zwei Zahlen ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ ( ${\displaystyle a<b}$ ) durch spezielle Werte des Streckenverhältnisses ${\displaystyle (b-k):(m-a)}$ . Auch die Ungleichung zwischen harmonischem, geometrischem und arithmetischem Mittel ist in der Antike bereits bekannt und geometrisch interpretiert. Im 19. und 20. Jahrhundert spielen Mittelwerte in der Analysis eine spezielle Rolle, dort im Wesentlichen im Zusammenhang mit berühmten Ungleichungen und wichtigen Funktionseigenschaften wie Konvexität (Hölder-Ungleichung, Minkowski-Ungleichung, Jensensche Ungleichung usw.). Dabei wurden dice klassischen Mittelwerte in mehreren Schritten verallgemeinert, zunächst zu den Potenzmittelwerten (siehe Abschnitt Hölder-Mittel unten) und diese wiederum zu den quasi-arithmetischen Mittelwerten. Dice klassische Ungleichung zwischen harmonischem, geometrischem und arithmetischem Mittel geht dabei über in allgemeinere Ungleichungen zwischen Potenzmittelwerten bzw. quasi-arithmetischen Mittelwerten.

Visualisierung des arithmetischen Mittels [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Den meistbenutzten Mittelwert, das arithmetische Mittel, kann human being z. B. mithilfe gleich schwerer Kugeln auf einer Wippe visualisieren, dice aufgrund der Hebelgesetze durch ein Dreieck (Drehpunkt) ausbalanciert sind. Unter der Annahme, dass das Gewicht des Balkens vernachlässigt werden kann, entspricht die Position des Dreiecks, das die Rest herbeiführt, dem arithmetischen Mittel der Kugelpositionen.

Definitionen der drei klassischen Mittelwerte [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Folgenden seien ${\displaystyle x_{1},\dotsc ,x_{n}}$ gegebene reelle Zahlen, in der Statistik etwa Messwerte, deren Mittelwert berechnet werden soll.^[1]

Arithmetischer Mittelwert [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das arithmetische Mittel ist die Summe der gegebenen Werte geteilt durch die Anzahl der Werte.

${\displaystyle {\bar {x}}_{\mathrm {arithm} }={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{north}{x_{i}}={\frac {x_{1}+x_{two}+\dotsb +x_{due north}}{n}}}$

Geometrisches Mittel [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Fall von Zahlen, die nicht auf Grund ihrer Summe, sondern ihres Produktes interpretiert werden, kann das geometrische Mittel berechnet werden. Dazu werden dice Zahlen miteinander multipliziert und die ${\displaystyle n}$ -te Wurzel gezogen, wobei ${\displaystyle n}$ der Anzahl der zu mittelnden Zahlen entspricht.

${\displaystyle {\bar {x}}_{\mathrm {geom} }={\sqrt[{due north}]{\prod _{i=1}^{north}{x_{i}}}}={\sqrt[{due north}]{x_{1}x_{two}\dotsm x_{n}}}}$

Harmonischer Mittelwert [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das harmonische Mittel findet Verwendung, wenn dice Zahlen im Bezug auf eine Einheit definiert sind. Dazu wird die Anzahl der Werte durch die Summe der Kehrwerte der Zahlen geteilt.

${\displaystyle {\bar {x}}_{\mathrm {damage} }={\frac {due north}{\sum \limits _{i=i}^{n}{\frac {one}{x_{i}}}}}={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {one}{x_{two}}}+\dotsb +{\frac {1}{x_{northward}}}}}}$

Beispiele für dice Verwendung unterschiedlicher Mittelwerte [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Merkmalsträger ${\displaystyle x}$	Wert
${\displaystyle x_{(one)}}$	3
${\displaystyle x_{(2)}}$	2
${\displaystyle x_{(3)}}$	2
${\displaystyle x_{(iv)}}$	2
${\displaystyle x_{(v)}}$	3
${\displaystyle x_{(6)}}$	4
${\displaystyle x_{(7)}}$	5

Säulendiagramm zu den Beispielen

Im Folgenden soll beispielhaft an den sieben rechts angegebenen Einträgen in der Wertetabelle gezeigt werden, wo welche Definition des Mittelwerts sinnvoll ist.

Das arithmetische Mittel wird beispielsweise zum Berechnen der Durchschnittsgeschwindigkeit genutzt, dice Werte werden as well als Geschwindigkeiten interpretiert: Läuft eine Schildkröte erst eine Stunde lang drei Meter pro Stunde, dann drei Stunden lang je zwei Meter und beschleunigt für jeweils eine Stunde nochmals auf drei, vier und fünf Meter pro Stunde, and then ergibt sich als arithmetisches Mittel bei einer Strecke von 21 Metern in 7 Stunden:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {ten}}_{\mathrm {arithm} }&={\frac {1}{7}}\sum \limits _{i=ane}^{7}{x_{i}}\\&={\frac {(3+2+two+2+3+iv+5)\,\mathrm {m} }{7\,\mathrm {h} }}={\frac {21\,\mathrm {m} }{7\,\mathrm {h} }}=3\,\mathrm {\frac {g}{h}} \end{aligned}}}$

Auch das harmonische Mittel kann zur Berechnung einer durchschnittlichen Geschwindigkeit sinnvoll sein, wenn nicht über gleiche Zeiten, sondern über gleiche Strecken gemessen wird. In dem Fall geben die Werte der Tabelle die Zeiten an, in der eine einheitliche Strecke zurückgelegt wird: Die Schildkröte laufe den 1. Meter mit 3 Metern pro Stunde, weitere 3 thou mit jeweils 2 1000/h und beschleunigt auf den letzten 3 Metern nochmals auf jeweils iii, 4 und 5 m/h. Die Durchschnittsgeschwindigkeit ergibt sich bei einer Strecke von seven Metern in ${\displaystyle {\tfrac {157}{sixty}}}$  Stunden:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {x}}_{\mathrm {harm} }&={\frac {7}{\sum \limits _{i=one}^{7}{\frac {1}{x_{i}}}}}\\&={\frac {seven\,\mathrm {g} }{\left({\frac {1}{three}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{ii}}+{\frac {ane}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}\correct)\,\mathrm {h} }}={\frac {seven\,\mathrm {yard} }{{\frac {157}{sixty}}\,\mathrm {h} }}\approx two{,}68\,\mathrm {\frac {m}{h}} \cease{aligned}}}$

Mit dem geometrischen Mittel errechnet man den mittleren Wachstumsfaktor. Die Wertetabelle wird too als die Angabe von Wachstumsfaktoren interpretiert. Eine Bakterienkultur wachse beispielsweise am ersten Tag auf das Fünffache, am zweiten auf das Vierfache, dann zweimal auf das Dreifache und die letzten drei Tage verdoppelt sie sich täglich. Der Bestand nach dem siebten Tag errechnet sich also durch ${\displaystyle {\text{Anfangsbestand}}\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 3\cdot 2\cdot 2\cdot 2={\text{Endbestand}}.}$ Alternativ kann mit dem geometrischen Mittel der Endbestand ermittelt werden, denn

${\displaystyle {\bar {x}}_{\mathrm {geom} }={\sqrt[{7}]{v\cdot 4\cdot 3\cdot 3\cdot 2\cdot 2\cdot ii}}={\sqrt[{7}]{1440}}\approx 2{,}83}$

und somit ist

${\displaystyle {\text{Anfangsbestand}}\cdot ({\bar {x}}_{\mathrm {geom} })^{7}={\text{Endbestand}}.}$

Ein tägliches Wachstum der Bakterienkultur um das 2,83-Fache hätte likewise nach sieben Tagen zum selben Ergebnis geführt.

Gemeinsame Definition der drei klassischen Mittelwerte [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Idee, die den drei klassischen Mittelwerten zugrunde liegt, lässt sich auf folgende Weise allgemein formulieren:

Beim arithmetischen Mittel sucht homo dice Zahl ${\displaystyle m}$ , für die

${\displaystyle m+m+\dotsb +m=due north\cdot m=x_{1}+x_{two}+\dotsb +x_{northward}}$

gilt, wobei sich die Summe links über ${\displaystyle north}$ Summanden erstreckt. Das arithmetische Mittel mittelt also bzgl. der arithmetischen Verknüpfung „Summe". Anschaulich bestimmt man mit dem arithmetischen Mittel aus Stäben verschiedener Länge einen mit einer durchschnittlichen oder mittleren Länge.

Beim geometrischen Mittel sucht man die Zahl ${\displaystyle m}$ , für die

${\displaystyle m\cdot m\dotsm m=m^{n}=x_{1}\cdot x_{2}\dotsm x_{n}}$

golden, wobei sich das Produkt links über ${\displaystyle n}$ Faktoren erstreckt. Das geometrische Mittel mittelt also bzgl. der arithmetischen Verknüpfung „Produkt".

Das harmonische Mittel ${\displaystyle m}$ löst die Gleichung

${\displaystyle {\frac {1}{yard}}+{\frac {ane}{m}}+\dotsb +{\frac {one}{m}}={\frac {n}{1000}}={\frac {one}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\dotsb +{\frac {1}{x_{n}}}}$

Zusammenhänge [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zusammenhang mit Erwartungswert [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der generelle Unterschied zwischen einem Mittelwert und dem Erwartungswert ist, dass der Mittelwert auf einen konkreten Datensatz angewendet wird, während der Erwartungswert Information über die Verteilung einer Zufallsvariablen liefert. Von Bedeutung ist die Verbindung zwischen diesen beiden Parametern. Wenn der Datensatz, auf den das Mittel angewendet wird, eine Stichprobe der Verteilung der Zufallsvariablen ist, ist das arithmetische Mittel der erwartungstreue und konsistente Schätzer des Erwartungswertes der Zufallsvariablen. Da der Erwartungswert dem ersten Moment einer Verteilung entspricht, wird der Mittelwert daher häufig genutzt, um aus empirischen Daten die Verteilung einzuschränken. Im Falle der häufig genutzten Normalverteilung, die durch die ersten beiden Momente vollkommen festgelegt ist, ist der Mittelwert daher von entscheidender Bedeutung.

Zusammenhang von arithmetischem, harmonischem und geometrischem Mittel [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Kehrwert des harmonischen Mittels ist gleich dem arithmetischen Mittel der Kehrwerte der Zahlen.

Für ${\displaystyle n=2}$ hängen die Mittelwerte untereinander in folgender Weise zusammen:

${\displaystyle x_{\mathrm {harm} }={\frac {x_{\mathrm {geom} }^{2}}{x_{\mathrm {arithm} }}}}$

oder nach dem geometrischen Mittel aufgelöst

${\displaystyle x_{\text{geom}}={\sqrt {x_{\text{arithm}}\cdot x_{\text{harm}}}}.}$

Ungleichung der Mittelwerte [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Dice Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel vergleicht die Werte des arithmetischen und geometrischen Mittels zweier gegebener Zahlen: Es golden für positive Variable stets

${\displaystyle \min(x_{1},\dotsc ,x_{n})\leq {\bar {10}}_{\text{geom}}\leq {\bar {x}}_{\text{arithm}}\leq \max(x_{one},\dotsc ,x_{n}).}$

Die Ungleichung lässt sich auch auf weitere Mittelwerte ausdehnen, z. B. (für positive Variable)

${\displaystyle \min(x_{1},\dotsc ,x_{n})\leq {\bar {ten}}_{\text{harm}}\leq {\bar {x}}_{\text{geom}}\leq {\bar {x}}_{\text{arithm}}\leq \max(x_{1},\dotsc ,x_{n}).}$

Für zwei (positive) Variablen gibt es auch eine grafische Veranschaulichung:

Geometrischer Beweis der Ungleichung für Mittelwerte zweier Variablen, Visualisierung von arithmetischem, geometrischem und harmonischem Mittel nach Pappos von Alexandria[2]		Vergleich von arithmetischem, geometrischem, harmonischem und weiteren Mittelwerten zweier positiver reeller Zahlen ${\displaystyle x_{1}}$ und ${\displaystyle x_{2}}$ in dimensionsloser Darstellung

Das geometrische Mittel folgt direkt aus dem euklidischen Höhensatz und das harmonische Mittel aus dem euklidischen Kathetensatz mit der Beziehung

${\displaystyle {\bar {10}}_{\text{geom}}^{2}={\bar {x}}_{\text{harm}}\cdot {\bar {x}}_{\text{arithm}}.}$

Vergleich zu anderen Maßen der zentralen Tendenz [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Häufig wird ein Mittelwert genutzt, um einen zentralen Wert eines Datensatz zu beschreiben. Dabei gibt es weitere Parameter, die ebenfalls diese Funktion erfüllen: Median und Modus. Der Median beschreibt einen Wert, der den Datensatz in zwei Hälften teilt, während der Modus den Wert mit der höchsten Häufigkeit im Datensatz angibt. Im Vergleich zum Median ist der Mittelwert anfälliger für Ausreißer und daher weniger robust. Weil der Median ein Quantil der Verteilung beschreibt, ist es auch möglich, dass dieser einen Wert aus der Ausgangsmenge beschreibt. Dies ist vor allem dann interessant, wenn die Zahlen zwischen den gegebenen Daten aus anderweitigen – beispielsweise physikalischen – Überlegungen nicht aussagekräftig sind. Der Median wird allgemein mit der folgenden Rechenvorschrift ermittelt.^[1]

${\displaystyle {\bar {10}}_{\mathrm {med} }={\begin{cases}x_{\left({\frac {due north+ane}{2}}\right)},&n{\text{ ungerade,}}\\{\frac {i}{2}}\left(x_{\left({\frac {n}{2}}\right)}+x_{\left({{\frac {north}{2}}+ane}\right)}\right),&north{\text{ gerade.}}\finish{cases}}}$

Weitere Mittelwerte und ähnliche Funktionen [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gewichtete Mittel [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die gewichteten oder auch gewogenen Mittelwerte entstehen, wenn man den einzelnen Werten unterschiedliche Gewichte zuordnet, mit denen sie in das Gesamtmittel einfließen; zum Beispiel, wenn bei einer Prüfung mündliche und schriftliche Leistung unterschiedlich stark in dice Gesamtnote einfließen.

Die genauen Definitionen finden sich hier:

• Gewichtetes arithmetisches Mittel
• Gewichtetes geometrisches Mittel
• Gewichtetes harmonisches Mittel

Quadratisches und kubisches Mittel [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weitere Mittel, die Verwendung finden, sind das quadratische Mittel und das kubische Mittel. Das quadratische Mittel wird mit der folgenden Rechenvorschrift berechnet:

${\displaystyle {\bar {10}}_{\mathrm {quadr} }={\sqrt {{\frac {i}{n}}\sum _{i=ane}^{north}{x_{i}^{2}}}}={\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+x_{two}^{2}+\dotsb +x_{n}^{2}}{n}}}}$

Das kubische Mittel wird wie folgt ermittelt:

${\displaystyle {\bar {10}}_{\mathrm {kubisch} }={\sqrt[{3}]{{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{northward}{x_{i}^{3}}}}={\sqrt[{3}]{\frac {x_{1}^{3}+x_{2}^{iii}+\dotsb +x_{n}^{3}}{due north}}}}$

Logarithmischer Mittelwert [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der logarithmische Mittelwert ${\displaystyle {\bar {x}}_{a,b,\ln }}$ von ${\displaystyle x_{a}}$ und ${\displaystyle x_{b}}$ ist definiert als

${\displaystyle {\bar {x}}_{a,b,\ln }={\frac {x_{b}-x_{a}}{\ln({\frac {x_{b}}{x_{a}}})}}={\frac {x_{b}-x_{a}}{\ln(x_{b})-\ln(x_{a})}}}$

Für ${\displaystyle x_{a}\neq x_{b}}$ liegt der logarithmische Mittelwert zwischen dem geometrischen und dem arithmetischen Mittelwert (für ${\displaystyle x_{a}=x_{b}}$ ist er wegen der Division durch null nicht definiert).

Winsorisiertes und getrimmtes Mittel [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Kann man davon ausgehen, dass die Daten durch „Ausreißer", das heißt einige wenige zu hohe oder zu niedrige Werte, kontaminiert sind, so kann man die Daten entweder durch Stutzen oder durch „Winsorisieren" (benannt nach Charles P. Winsor) bereinigen und den getrimmten (bzw. gestutzten) ${\displaystyle {\bar {10}}_{t\blastoff }}$ (engl. truncated hateful) oder winsorisierten Mittelwert ${\displaystyle {\bar {x}}_{westward\alpha }}$ (engl. Winsorized mean) berechnen. In beiden Fällen sortiert man die Beobachtungswerte zuerst nach aufsteigender Größe. Beim Trimmen schneidet man sodann eine gleiche Anzahl von Werten am Anfang und am Ende der Folge ab und berechnet von den übrig bleibenden Werten den Mittelwert. Hingegen werden beim „Winsorisieren" die Ausreißer am Anfang und Ende der Folge durch den nächstkleineren (bzw. -größeren) Wert der restlichen Daten ersetzt.

Beispiel: Chapeau man 10 aufsteigend sortierte reelle Zahlen ${\displaystyle x_{i},\dotsc ,x_{10}}$ , so ist das x-%-getrimmte Mittel gleich

${\displaystyle {\bar {ten}}_{t0{,}1}={\frac {x_{2}+x_{3}+x_{four}+x_{5}+x_{6}+x_{7}+x_{8}+x_{ix}}{8}}.}$

Indes ist der ten-%-winsorisierte Mittelwert gleich

${\displaystyle {\bar {x}}_{w0{,}1}={\frac {x_{two}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{v}+x_{6}+x_{7}+x_{viii}+x_{9}+x_{nine}}{ten}}.}$

D. h., das getrimmte Mittel liegt zwischen dem arithmetischen Mittel (keine Stutzung) und dem Median (maximale Stutzung). Üblicherweise wird ein 20-%-getrimmtes Mittel verwendet, d. h., 40 % der Daten bleiben unberücksichtigt für die Mittelwertberechnung. Dice Prozentzahl richtet sich im Wesentlichen nach der Zahl der vermuteten Ausreißer in den Daten; für Bedingungen für eine Trimmung von weniger als 20 % sei auf die Literatur verwiesen.^{[3] [four]}

Quartilsmittel [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Quartilsmittel ist definiert als der Mittelwert des 1. und iii. Quartils:

${\displaystyle {\bar {x}}_{q}={\frac {{\tilde {x}}_{0{,}25}+{\tilde {x}}_{0{,}75}}{2}}.}$

Hierbei bezeichnet ${\displaystyle {\tilde {x}}_{0{,}25}}$ das 25-%-Quantil (i. Quartil) und entsprechend ${\displaystyle {\tilde {x}}_{0{,}75}}$ das 75-%-Quantil (3. Quartil) der Messwerte.

Das Quartilsmittel ist robuster als das arithmetische Mittel, aber weniger robust als der Median.

Mitte der kürzesten Hälfte [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ${\displaystyle [a,b[}$ das kürzeste Intervall unter allen Intervallen mit ${\displaystyle F(b)-F(a)\geq {\frac {1}{2}}}$ , then ist ${\displaystyle {\frac {b-a}{2}}}$ dessen Mitte (middle of the shortest one-half). Bei unimodalen symmetrischen Verteilungen konvergiert dieser Wert gegen das arithmetische Mittel.^[5]

Gastwirth-Cohen-Mittel [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Gastwirth-Cohen-Mittel^[6] nutzt drei Quantile der Daten: das ${\displaystyle \alpha }$ -Quantil und das ${\displaystyle (one-\blastoff )}$ -Quantil jeweils mit Gewicht ${\displaystyle \lambda }$ sowie den Median mit Gewicht ${\displaystyle 1-2\lambda }$ :

${\displaystyle {\bar {x}}_{gc}=\lambda {\tilde {x}}_{\alpha }+(1-2\lambda ){\tilde {x}}_{0{,}5}+\lambda {\tilde {10}}_{1-\alpha }}$

mit ${\displaystyle 0\leq \alpha \leq 0{,}5}$ und ${\displaystyle 0\leq \lambda \leq 0{,}v}$ .

Spezialfälle sind

• das Quartilsmittel mit ${\displaystyle \blastoff =0{,}25}$ , ${\displaystyle \lambda =0{,}5}$ und
• das Trimean mit ${\displaystyle \alpha =0{,}25}$ , ${\displaystyle \lambda =0{,}25}$ .

Bereichsmittel [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Bereichsmittel (englisch Mid-range) ist definiert als der arithmetische Mittelwert aus dem größten und dem kleinsten Beobachtungswert:

${\displaystyle {\bar {ten}}_{b}={\frac {\min _{i}x_{i}+\max _{i}x_{i}}{2}}}$

Dies ist gleichbedeutend mit:

${\displaystyle |{\min _{i}x_{i}-{\bar {x}}_{b}}|=|{\max _{i}x_{i}-{\bar {x}}_{b}}|}$

Das „a-Mittel" [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für einen gegebenen reellen Vektor ${\displaystyle a=(a_{1},\dotsc ,a_{north})}$ mit ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}=1}$ wird der Ausdruck

${\displaystyle [a]={\frac {1}{n!}}\sum _{\sigma }x_{\sigma (1)}^{a_{1}}\dotsm x_{\sigma (n)}^{a_{northward}},}$

wobei über alle Permutationen ${\displaystyle \sigma }$ von ${\displaystyle \{1,\dotsc ,n\}}$ summiert wird, als „ ${\displaystyle a}$ -Mittel" ${\displaystyle [a]}$ der nichtnegativen reellen Zahlen ${\displaystyle x_{one},\dotsc ,x_{n}}$ bezeichnet.

Für den Fall ${\displaystyle a=(ane,0,\dotsc ,0)}$ , ergibt das genau das arithmetische Mittel der Zahlen ${\displaystyle x_{ane},\dotsc ,x_{n}}$ ; für den Autumn ${\displaystyle a=\left({\tfrac {1}{n}},\dotsc ,{\tfrac {1}{north}}\correct)}$ ergibt sich genau das geometrische Mittel.

Für die ${\displaystyle a}$ -Mittel gilt die Muirhead-Ungleichung.

Beispiel: Sei ${\displaystyle a=\left({\tfrac {1}{two}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{6}}\right)}$ und

${\displaystyle x_{1}=4,\,x_{ii}=5,\,x_{3}=half-dozen,}$ dann gilt ${\displaystyle {\tfrac {ane}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{half dozen}}=i}$ und dice Menge der Permutationen (in Kurzschreibweise) von ${\displaystyle \{one,ii,3\}}$ ist

${\displaystyle S_{3}=\{1\,2\,three,1\,3\,two,2\,i\,3,ii\,3\,1,three\,1\,2,3\,2\,1\}.}$

Damit ergibt sich

:                          ${\displaystyle {\begin{aligned}{[a]}&={\frac {one}{3!}}\left(x_{1}^{\frac {1}{2}}x_{2}^{\frac {1}{3}}x_{three}^{\frac {1}{6}}+x_{ane}^{\frac {1}{ii}}x_{iii}^{\frac {1}{3}}x_{2}^{\frac {ane}{six}}+x_{2}^{\frac {1}{2}}x_{1}^{\frac {1}{3}}x_{3}^{\frac {1}{6}}+x_{2}^{\frac {1}{two}}x_{3}^{\frac {1}{3}}x_{1}^{\frac {ane}{6}}+x_{3}^{\frac {1}{2}}x_{1}^{\frac {1}{3}}x_{ii}^{\frac {1}{6}}+x_{3}^{\frac {1}{ii}}x_{2}^{\frac {1}{3}}x_{ane}^{\frac {i}{6}}\right)\\&={\frac {1}{six}}\left(4^{\frac {1}{2}}{\cdot }five^{\frac {ane}{three}}{\cdot }6^{\frac {ane}{6}}+4^{\frac {1}{two}}{\cdot }6^{\frac {i}{3}}{\cdot }5^{\frac {i}{half dozen}}+v^{\frac {1}{ii}}{\cdot }4^{\frac {1}{three}}{\cdot }6^{\frac {one}{6}}+v^{\frac {1}{2}}{\cdot }6^{\frac {1}{3}}{\cdot }4^{\frac {one}{6}}+6^{\frac {1}{2}}{\cdot }4^{\frac {1}{iii}}{\cdot }5^{\frac {ane}{vi}}+half dozen^{\frac {1}{2}}{\cdot }5^{\frac {one}{three}}{\cdot }4^{\frac {1}{6}}\right)\\&\approx 4{,}94.\end{aligned}}}$                                          

Gleitende Durchschnitte [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gleitende Durchschnitte werden in der dynamischen Analyse von Messwerten angewandt. Sie sind außerdem ein gängiges Mittel der technischen Analyse in der Finanzmathematik. Mit gleitenden Durchschnitten kann das stochastische Rauschen aus zeitlich voranschreitenden Signalen herausgefiltert werden. Häufig handelt es sich dabei um FIR-Filter. Jedoch muss beachtet werden, dass die meisten gleitenden Durchschnitte dem echten Betoken hinterherlaufen. Für vorausschauende Filter siehe z. B. Kalman-Filter.

Gleitende Durchschnitte benötigen normalerweise eine unabhängige Variable, die dice Größe der nachlaufenden Stichprobe bezeichnet, bzw. das Gewicht des vorangehenden Wertes für die exponentiellen gleitenden Durchschnitte.

Gängige gleitende Durchschnitte sind:

• arithmetische gleitende Durchschnitte (Simple Moving Average – SMA),
• exponentiell gleitende Durchschnitte (Exponential Moving Boilerplate – EMA),
• doppelt exponentiell gleitende Durchschnitte (Double EMA – DEMA),
• dreifach, ${\displaystyle n}$ -fach exponentiell gleitende Durchschnitte (Triple EMA – TEMA),
• linear gewichtete gleitende Durchschnitte (linear abfallende Gewichtung),
• quadratisch gewichtete gleitende Durchschnitte und
• weitere Gewichtungen: Sinus, Triangular, …

In der Finanzliteratur können außerdem sogenannte adaptive gleitende Durchschnitte gefunden werden, die sich automatisch einer sich ändernden Umgebung (anderer Volatilität/Streuung etc.) anpassen:

• Kaufmann's Adaptive Moving Average (KAMA) sowie
• Variable Index Dynamic Average (VIDYA).

Für die Anwendung von gleitenden Durchschnitten siehe auch Gleitende Durchschnitte (Chartanalyse) und MA-Modell.

Kombinierte Mittelwerte [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mittelwerte lassen sich kombinieren; so entsteht etwa das arithmetisch-geometrische Mittel, das zwischen dem arithmetischen und geometrischen Mittel liegt.

Verallgemeinerte Mittelwerte [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es gibt eine Reihe weiterer Funktionen, mit denen sich die bekannten und weitere Mittelwerte erzeugen lassen.

Hölder-Mittel [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für positive Zahlen ${\displaystyle x_{i}}$ definiert human den ${\displaystyle m}$ -Potenzmittelwert, auch Hölder-Mittel (englisch ${\displaystyle k}$ -th power mean ) als

${\displaystyle {\bar {x}}(k)={\sqrt[{thou}]{{\frac {1}{north}}\sum _{i=1}^{n}{x_{i}^{g}}}}.}$

Für ${\displaystyle k=0}$ ist der Wert durch stetige Ergänzung definiert:

${\displaystyle {\bar {ten}}(0)=\lim _{k\to 0}{\bar {x}}(k)}$

Man beachte, dass sowohl Notation als auch Bezeichnung uneinheitlich sind.

Für ${\displaystyle k=-ane,0,1,ii,3}$ ergeben sich daraus etwa das harmonische, das geometrische, das arithmetische, das quadratische und das kubische Mittel. Für ${\displaystyle k\to -\infty }$ ergibt sich das Minimum, für ${\displaystyle one thousand\to +\infty }$ das Maximum der Zahlen.

Außerdem gilt bei festen Zahlen ${\displaystyle x_{i}}$ : Je größer ${\displaystyle k}$ ist, desto größer ist ${\displaystyle {\bar {x}}(k)}$ ; daraus folgt dann die verallgemeinerte Ungleichung der Mittelwerte

${\displaystyle \min(x_{i},\dotsc ,x_{n})\leq {\bar {x}}_{\mathrm {harm} }\leq {\bar {ten}}_{\mathrm {geom} }\leq {\bar {10}}_{\mathrm {arithm} }\leq {\bar {ten}}_{\mathrm {quadr} }\leq {\bar {x}}_{\mathrm {kubisch} }\leq \max(x_{1},\dotsc ,x_{n}).}$

Lehmer-Mittel [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Lehmer-Mittel^[7] ist ein anderer verallgemeinerter Mittelwert; zur Stufe ${\displaystyle p}$ ist es definiert durch

${\displaystyle L_{p}(a_{one},a_{2},\dotsc ,a_{n})={\frac {\sum _{k=1}^{n}a_{thou}^{p}}{\sum _{chiliad=ane}^{n}a_{thou}^{p-1}}}.}$

Es hat die Spezialfälle

• ${\displaystyle \lim _{p\to -\infty }L_{p}(a_{1},\dotsc ,a_{n})=\min(a_{one},\dotsc ,a_{n});}$
• ${\displaystyle L_{0}(a_{1},\dotsc ,a_{n})}$ ist das harmonische Mittel;
• ${\displaystyle L_{1/2}(a_{1},a_{2})}$ ist das geometrische Mittel von ${\displaystyle a_{one}}$ und ${\displaystyle a_{2}}$ ;
• ${\displaystyle L_{ane}(a_{i},\dotsc ,a_{n})}$ ist das arithmetische Mittel;
• ${\displaystyle \lim _{p\to \ +\infty }L_{p}(a_{1},\dotsc ,a_{n})=\max(a_{1},\dotsc ,a_{n}).}$

Stolarsky-Mittel [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Stolarsky-Mittel zweier Zahlen ${\displaystyle a,c}$ ist definiert durch

${\displaystyle S_{p}(a,c)=\left({\frac {a^{p}-c^{p}}{p(a-c)}}\right)^{1/p-1}.}$

Integraldarstellung nach Chen [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Funktion

${\displaystyle f(t)={\frac {\int _{a}^{b}x^{t+i}\,\mathrm {d} x}{\int _{a}^{b}x^{t}\,\mathrm {d} x}}}$

ergibt für verschiedene Argumente ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ dice bekannten Mittelwerte von ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ :^[eight]

Aus der Stetigkeit und Monotonie der so definierten Funktion ${\displaystyle f}$ folgt dice Mittelwertungleichung

${\displaystyle \underbrace {\frac {2ab}{a+b}} _{{\text{impairment. }}=f(-3)}\leq \underbrace {\sqrt {ab}} _{{\text{geom. }}=f\left(-{\frac {three}{ii}}\correct)}\leq \underbrace {\frac {b-a}{\ln b-\ln a}} _{{\text{log. }}=f(-1)}\leq \underbrace {\frac {a+{\sqrt {ab}}+b}{3}} _{{\text{heron. }}=f\left(-{\frac {1}{ii}}\correct)}\leq \underbrace {\frac {a+b}{2}} _{{\text{arithm. }}=f(0)}}$

Mittelwert einer Funktion [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das arithmetische Mittel einer stetigen Funktion ${\displaystyle f(10)}$ in einem geschlossenen Intervall ${\displaystyle [a,b]}$ ist

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\frac {\sum _{i=0}^{N}f(a+i\cdot {\frac {b-a}{N}})}{N+one}}={\frac {1}{b-a}}\int \limits _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} ten}$ .

Das quadratische Mittel einer stetigen Funktion ist

${\displaystyle {\sqrt {{\frac {one}{b-a}}\int \limits _{a}^{b}f(x)^{2}\mathrm {d} 10}}.}$

Diese finden in der Technik erhebliche Beachtung, siehe Gleichwert und Effektivwert.

Literatur [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

• F. Ferschl: Deskriptive Statistik. 3. Auflage. Physica-Verlag Würzburg, ISBN 3-7908-0336-7.
• P. S. Bullen: Handbook of Ways and Their Inequalities. Kluwer Acad. Pub., 2003, ISBN one-4020-1522-4 (umfassende Diskussion von Mittelwerten und den mit ihnen verbundenen Ungleichungen).
• G. H. Hardy, J. E. Littlewood, Grand. Polya: Inequalities. Cambridge Univ. Press, 1964.
• Due east. Beckenbach, R. Bellman: Inequalities. Springer, Berlin 1961.
• F. Sixtl: Der Mythos des Mittelwertes. R. Oldenbourg Verlag, München/Wien 1996, 2. Aufl., ISBN iii-486-23320-3.

Weblinks [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

• Averaging auf Scholarpedia (englisch)

Einzelnachweise [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

1. ↑ ^{a b} F. Ferschl: Deskriptive Statistik. 3. Auflage. Physica-Verlag Würzburg, ISBN iii-7908-0336-seven. S. 48–74.
2. ↑ Horst Hischer: Viertausend Jahre Mittelwertbildung. Babylonische Ungleichungskette. Universität des Saarlandes, 2003, S. 12, abgerufen am 26. Mai 2022.
3. ↑ R. M. Kowalchuk, H. J. Keselman, R. R. Wilcox, J. Algina: Multiple comparison procedures, trimmed means and transformed statistics. In: Journal of Mod Practical Statistical Methods. Bandfive, 2006, Southward.44–65, doi:ten.22237/jmasm/1146456300.
4. ↑ R. R. Wilcox, H. J. Keselman: Ability analysis when comparison trimmed means. In: Journal of Modern Practical Statistical Methods. Band1, 2001, S.24–31, doi:10.22237/jmasm/1020254820.
5. ↑ L. Davies: Information Features. In: Statistica Neerlandica. Ring49, 1995, South.185–245, doi:10.1111/j.1467-9574.1995.tb01464.ten.
6. ↑ J. L. Gastwirth, M. L. Cohen: Small-scale sample beliefs of some robust linear estimators of location, J Amer Statist Assoc 65:946–973, 1970, doi:10.1080/01621459.1970.10481137, JSTOR:2284600.
7. ↑ Eric W. Weisstein: Lehmer Mean. In: MathWorld (englisch).
8. ↑ H. Chen: Means Generated by an Integral. In: Mathematics Magazine. Vol. 78, Nr. 5 (Dez. 2005), S. 397–399, JSTOR:30044201.

Source: https://de.wikipedia.org/wiki/Mittelwert

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